Семинар "Комплексный анализ одной переменной"
Семинар проходит по средам в 17:30, ауд. 217б, 14 линия В.О., 29 + Zoom ID 675-315-555 (пароль: mkn)
7 июля 2025 г., 17:30
Alfonso Montes-Rodríguez, «Dynamics of Gauss maps and the Hilbert transform»
A pair , where is a locally rectifiable curve and is a Heisenberg uniqueness pair if an absolutely continuous finite complex-valued Borel measure supported on whose Fourier transform vanishes on necessarily is the zero measure. Here, absolute continuity is with respect to arc length measure. Recently, it was shown by Hedenmalm and Montes that if is the hyperbola (where is the mass), and is the lattice-cross , where are positive reals, then is a Heisenberg uniqueness pair if and only if . The Fourier transform of a measure supported on a hyperbola solves the one-dimensional Klein-Gordon equation, so the theorem supplies very thin uniqueness sets for a class of solutions to this equation. By rescaling, we may assume that the mass equals , and then the above-mentioned theorem is equivalent to the following assertion: the functions span a weak-star dense subspace of if and only if . The proof involved ideas from Ergodic Theory. To be more specific, in the critical regime , the crucial fact was that the Gauss-type map modulo on has an ergodic absolutely continuous invariant measure with infinite total mass. However, the case of the semi-axis as well as the holomorphic counterpart remained open. We completely solve these two problems. Both results can be stated in terms of Heisenberg uniqueness, but here, we prefer the concrete formulation. As for the semi-axis, we can show that the restriction to of the functions span a weak-star dense subspace of if and only if . In the critical regime , the weak-star span misses the mark by one dimension only. The proof of this statement is based on the ergodic properties of the standard Gauss map mod on the interval . In particular, we find that for , there exist nontrivial functions with and that each such function is uniquely determined by its restriction to any of the semiaxes and . This is an instance of dynamical unique continuation.
As for the holomorphic counterpart, we show that the functions span a weak-star dense subspace of if and only if . Here, is the subspace of which consists of those functions whose Poisson extensions to the upper half-plane are holomorphic. In the critical regime , the proof relies on the nonexistence of a certain invariant distribution in the predual of real for the above-mentioned Gauss-type map on the interval , which is a new result of dynamical flavor. To attain it, we need to handle in a subtle way series of powers of transfer operators, a rather intractable problem where even the recent advances by Melbourne and Terhesiu do not apply. More specifically, our approach – which is obtained by combining ideas from Ergodic Theory with ideas from Harmonic Analysis – involves a splitting of the Hilbert kernel, as induced by the transfer operator. The careful analysis of this splitting involves detors to the Hurwitz zeta function as well as to the theory of totally positive matrices.
Приглашаются все желающие!
Alfonso Montes-Rodríguez, «Dynamics of Gauss maps and the Hilbert transform»
A pair , where is a locally rectifiable curve and is a Heisenberg uniqueness pair if an absolutely continuous finite complex-valued Borel measure supported on whose Fourier transform vanishes on necessarily is the zero measure. Here, absolute continuity is with respect to arc length measure. Recently, it was shown by Hedenmalm and Montes that if is the hyperbola (where is the mass), and is the lattice-cross , where are positive reals, then is a Heisenberg uniqueness pair if and only if . The Fourier transform of a measure supported on a hyperbola solves the one-dimensional Klein-Gordon equation, so the theorem supplies very thin uniqueness sets for a class of solutions to this equation. By rescaling, we may assume that the mass equals , and then the above-mentioned theorem is equivalent to the following assertion: the functions span a weak-star dense subspace of if and only if . The proof involved ideas from Ergodic Theory. To be more specific, in the critical regime , the crucial fact was that the Gauss-type map modulo on has an ergodic absolutely continuous invariant measure with infinite total mass. However, the case of the semi-axis as well as the holomorphic counterpart remained open. We completely solve these two problems. Both results can be stated in terms of Heisenberg uniqueness, but here, we prefer the concrete formulation. As for the semi-axis, we can show that the restriction to of the functions span a weak-star dense subspace of if and only if . In the critical regime , the weak-star span misses the mark by one dimension only. The proof of this statement is based on the ergodic properties of the standard Gauss map mod on the interval . In particular, we find that for , there exist nontrivial functions with and that each such function is uniquely determined by its restriction to any of the semiaxes and . This is an instance of dynamical unique continuation.
As for the holomorphic counterpart, we show that the functions span a weak-star dense subspace of if and only if . Here, is the subspace of which consists of those functions whose Poisson extensions to the upper half-plane are holomorphic. In the critical regime , the proof relies on the nonexistence of a certain invariant distribution in the predual of real for the above-mentioned Gauss-type map on the interval , which is a new result of dynamical flavor. To attain it, we need to handle in a subtle way series of powers of transfer operators, a rather intractable problem where even the recent advances by Melbourne and Terhesiu do not apply. More specifically, our approach – which is obtained by combining ideas from Ergodic Theory with ideas from Harmonic Analysis – involves a splitting of the Hilbert kernel, as induced by the transfer operator. The careful analysis of this splitting involves detors to the Hurwitz zeta function as well as to the theory of totally positive matrices.
Приглашаются все желающие!
4 июня 2025 г., 17:30
Ю.С. Белов, «Коэффициенты Тейлора для целых функций конечного экспоненциального типа. Часть 2»
Продолжение первой лекции. Мы разберем недавние прорывные результаты Л. Хадасси и М. Содина о унимодулярном возмущении ряда для экспоненты. Доклад основан на препринте https://arxiv.org/abs/2504.13 104. В частности, это дает существенное улучшение классической теоремы Карлсона.
Приглашаются все желающие!
Ю.С. Белов, «Коэффициенты Тейлора для целых функций конечного экспоненциального типа. Часть 2»
Продолжение первой лекции. Мы разберем недавние прорывные результаты Л. Хадасси и М. Содина о унимодулярном возмущении ряда для экспоненты. Доклад основан на препринте https://arxiv.org/abs/2504.13 104. В частности, это дает существенное улучшение классической теоремы Карлсона.
Приглашаются все желающие!
28 мая 2025 г., 17:30
Ю.С. Белов, «Коэффициенты Тейлора для целых функций конечного экспоненциального типа»
Мы разберем недавние прорывные результаты Л. Хадасси и М. Содина о унимодулярном возмущении ряда для экспоненты. Доклад основан на препринте https://arxiv.org/abs/2504.13 104. В частности, это дает существенное улучшение классической теоремы Карлсона.
Приглашаются все желающие!
14 мая 2025 г., 17:30
П.А. Мозоляко, «GFF на графе и дискретная формула Адамара»
Чуть более 10 лет назад Х. Хеденмальм написал небольшую статью, в которой связал динамику вариационной формулы Адамара для компактов на плоскости и динамический же метод построения гауссовского свободного поля с помощью белого шума, получив при этом несколько элегантных доказательств известных свойств гауссовского поля. Мы перенесем эти идеи в дискретный контекст, и рассмотрим некоторые получающиеся примеры.
Приглашаются все желающие!
23 апреля 2025 г., 17:30
Д.Н. Запорожец, «О целой функции, являющейся бесконечномерным обобщением многочлена Штейнера»
Каждому выпуклому компакту в соответствует многочлен Штейнера, который в точке строго большей принимает значение, равное объему -окрестности компакта. При должной нормировке коэффициентов и замене меры Лебега на гауссовскую, данный результат можно обобщить на гильбертово пространство, при этом бесконечномерному компакту будет соответствовать некоторая целая функция, коэффициенты которой являются его внутренними объемами. Мы рассмотрим ее основные свойства, приведем некоторые примеры. Также мы обсудим, как методы из комплексного анализа могут помочь в изучении последовательности
внутренних объемов.
Доклад основан на текущей совместной работе с Михаилом Германсковым и Марией Досполовой.
Приглашаются все желающие!
16 апреля 2025 г., 17:30
Ilya Zlotnikov, «Sampling in (quasi) shift-invariant spaces generated by ratios of exponential polynomials»
Given a separated set in and a generator (function) . The quasi shift-invariant space generated by the function is an -span of translates of the function . This space is called shift-invariant if is a set of integers.
We introduce two families of generators that admit meromorphic extension to the complex plane. Namely, we consider and , where is a rational function satisfying some natural assumptions and is positive.
We will discuss sharp sampling theorems for the (quasi) shift-invariant spaces . Our results are given in terms of lower and upper densities of the sampling set and the set of translates . As an application, we solve the interpolation problem in the space and obtain new results on the density of semi-regular lattices of Gabor frames .
The talk is based on joint work with Alexander Ulanovskii.
References: [1] Alexander Ulanovskii, Ilya Zlotnikov, Sampling in quasi shift-invariant spaces and Gabor frames generated by ratios of exponential polynomials, Mathematische Annalen, 391, 3429−3456, (2025)
DOI: 10.1007/s00208−024−3 011−7, preprint: arxiv.org/abs/2402.3 090
9 апреля 2025 г., 17:30
И.Р. Каюмов, «Неравенства типа Бора для подчиненных аналитических функций»
В докладе будут обсуждены классическое неравенство Бора и его аналог для норм модулей коэффициентов ограниченных в круге аналитических функций. Будет подробно доказан аналог неравенства Бора для квазиподчиненных аналитических функций и описана гипотеза для соответствующих норм.
Приглашаются все желающие!
26 марта 2025 г., 17:30
М.Ю. Тяглов, «Обобщение теоремы Эрмита-Билера и его применение к трёхдиагональным матрицам»
Классическая теорема Эрмита-Билера описывает распределение нулей комплексной линейной комбинации двух многочленов с простыми, вещественными, строго перемежающимися нулями. Я вкратце расскажу о самой этой теореме, а потом дам описание распределения нулей комплексной линейной комбинации двух многочленов в случае, когда перемежаемость не выполняется в одном месте. Я также покажу, как этот результат может быть применён для решения прямых и обратных спектральных задач для двумерных возмущений трёхдиагональных матриц.
Приглашаются все желающие!
19 марта 2025 г., 17:30
В.В. Пеллер, «Формулы следов в различных ситуациях»
Физик И. М. Лифшиц, работая над задачами квантовой статистики и теории кристаллов, пришёл к формуле спектрального сдвига , при некоторых условиях на самосопряжённые операторы и для достаточно хороших функций на вещественной прямой, где — так называемая функция спектрального сдвига, которая соответствует паре и .
В докладе будет дан обзор результатов за последние годы, в которых рассматриваются различные обобщения этой формулы следов.
Приглашаются все желающие!
12 марта 2025 г., 17:30
Д.М. Столяров, «Квазивыпуклый анализ, гипотеза Морри и гипотеза Иванца»
Я сделаю обзорный доклад об области, лежащей на пересечении вариационного исчисления, выпуклой геометрии и математического анализа, неформально именуемой квазивыпуклым анализом. Основной предмет изучения здесь — квазивыпуклые и ранг-один выпуклые функции. Первый тип выпуклости естественным образом возникает в вариационном исчислении, а второй является его практически осязаемым упрощением. Я расскажу о пользе этих двух понятий в классическом вариационном исчислении и анализе квазиконформных отображений, а также об их связи с экстремальными задачами теории вероятностей.
Приглашаются все желающие!
26 февраля 2025 г., 17:30
А.Д. Баранов, «Оценки интегралов от производных -листных функций»
Пусть — многочлен степени не выше и в единичном круге . Какой будет точная по порядку зависимости от оценка для интегрального среднего его производной ? Нетрудно показать, что , где — некоторая абсолютная константа. Значительно сложнее показать, что это неравенство точное.
В докладе мы обсудим решение этой задачи и ряд ее обобщений. Например, вместо полиномов можно рассматривать рациональные функции, -листные функции и даже функции, -листные в среднем, круг можно заменить на более широкий класс достаточно регулярных областей, а равномерную норму на норму в пространстве Харди.
Доклад основан на совместных работах с И. Р. Каюмовым (СПбГУ) и Р. Заруфом (университет Экс-Марсель).
Приглашаются все желающие!
19 февраля 2025 г., 17:30
Ф.В. Петров, «Ветвление в плоской задаче Джилберта — Штейнера имеет степень не выше 3»
Пусть на плоскости дано два конечных набора материальных точек равной суммарной массы. Перевести килограмм на расстояние стоит рублей, где . Минимальная стоимость плана перевозки массы из первого набора во второй реализуется некоторым деревом. Мы доказываем, что степени его вершин не превосходят . Доказательство основано на теории Бохнера и Шёнберга вполне положительных функций. По совместной работе с Д. Черкашиным.
Приглашаются все желающие!
12 февраля 2025 г., 17:30.
Ю.С. Белов, «Теоремы типа Кадеца»
Знаменитая теорема Кадеца об утверждает, что если последовательность чисел не слишком далека от целых чисел , то соответствующая система экспонент порождает безусловный базис в пространстве . В докладе будет представлено оригинальное доказательство Кадеца и рассмотрены аналоги этой теоремы для малого пространства Фока и некоторых других пространств.
Приглашаются все желающие!
Ю.С. Белов, «Коэффициенты Тейлора для целых функций конечного экспоненциального типа»
Мы разберем недавние прорывные результаты Л. Хадасси и М. Содина о унимодулярном возмущении ряда для экспоненты. Доклад основан на препринте https://arxiv.org/abs/2504.13 104. В частности, это дает существенное улучшение классической теоремы Карлсона.
Приглашаются все желающие!
14 мая 2025 г., 17:30
П.А. Мозоляко, «GFF на графе и дискретная формула Адамара»
Чуть более 10 лет назад Х. Хеденмальм написал небольшую статью, в которой связал динамику вариационной формулы Адамара для компактов на плоскости и динамический же метод построения гауссовского свободного поля с помощью белого шума, получив при этом несколько элегантных доказательств известных свойств гауссовского поля. Мы перенесем эти идеи в дискретный контекст, и рассмотрим некоторые получающиеся примеры.
Приглашаются все желающие!
23 апреля 2025 г., 17:30
Д.Н. Запорожец, «О целой функции, являющейся бесконечномерным обобщением многочлена Штейнера»
Каждому выпуклому компакту в соответствует многочлен Штейнера, который в точке строго большей принимает значение, равное объему -окрестности компакта. При должной нормировке коэффициентов и замене меры Лебега на гауссовскую, данный результат можно обобщить на гильбертово пространство, при этом бесконечномерному компакту будет соответствовать некоторая целая функция, коэффициенты которой являются его внутренними объемами. Мы рассмотрим ее основные свойства, приведем некоторые примеры. Также мы обсудим, как методы из комплексного анализа могут помочь в изучении последовательности
внутренних объемов.
Доклад основан на текущей совместной работе с Михаилом Германсковым и Марией Досполовой.
Приглашаются все желающие!
16 апреля 2025 г., 17:30
Ilya Zlotnikov, «Sampling in (quasi) shift-invariant spaces generated by ratios of exponential polynomials»
Given a separated set in and a generator (function) . The quasi shift-invariant space generated by the function is an -span of translates of the function . This space is called shift-invariant if is a set of integers.
We introduce two families of generators that admit meromorphic extension to the complex plane. Namely, we consider and , where is a rational function satisfying some natural assumptions and is positive.
We will discuss sharp sampling theorems for the (quasi) shift-invariant spaces . Our results are given in terms of lower and upper densities of the sampling set and the set of translates . As an application, we solve the interpolation problem in the space and obtain new results on the density of semi-regular lattices of Gabor frames .
The talk is based on joint work with Alexander Ulanovskii.
References: [1] Alexander Ulanovskii, Ilya Zlotnikov, Sampling in quasi shift-invariant spaces and Gabor frames generated by ratios of exponential polynomials, Mathematische Annalen, 391, 3429−3456, (2025)
DOI: 10.1007/s00208−024−3 011−7, preprint: arxiv.org/abs/2402.3 090
9 апреля 2025 г., 17:30
И.Р. Каюмов, «Неравенства типа Бора для подчиненных аналитических функций»
В докладе будут обсуждены классическое неравенство Бора и его аналог для норм модулей коэффициентов ограниченных в круге аналитических функций. Будет подробно доказан аналог неравенства Бора для квазиподчиненных аналитических функций и описана гипотеза для соответствующих норм.
Приглашаются все желающие!
26 марта 2025 г., 17:30
М.Ю. Тяглов, «Обобщение теоремы Эрмита-Билера и его применение к трёхдиагональным матрицам»
Классическая теорема Эрмита-Билера описывает распределение нулей комплексной линейной комбинации двух многочленов с простыми, вещественными, строго перемежающимися нулями. Я вкратце расскажу о самой этой теореме, а потом дам описание распределения нулей комплексной линейной комбинации двух многочленов в случае, когда перемежаемость не выполняется в одном месте. Я также покажу, как этот результат может быть применён для решения прямых и обратных спектральных задач для двумерных возмущений трёхдиагональных матриц.
Приглашаются все желающие!
19 марта 2025 г., 17:30
В.В. Пеллер, «Формулы следов в различных ситуациях»
Физик И. М. Лифшиц, работая над задачами квантовой статистики и теории кристаллов, пришёл к формуле спектрального сдвига , при некоторых условиях на самосопряжённые операторы и для достаточно хороших функций на вещественной прямой, где — так называемая функция спектрального сдвига, которая соответствует паре и .
В докладе будет дан обзор результатов за последние годы, в которых рассматриваются различные обобщения этой формулы следов.
Приглашаются все желающие!
12 марта 2025 г., 17:30
Д.М. Столяров, «Квазивыпуклый анализ, гипотеза Морри и гипотеза Иванца»
Я сделаю обзорный доклад об области, лежащей на пересечении вариационного исчисления, выпуклой геометрии и математического анализа, неформально именуемой квазивыпуклым анализом. Основной предмет изучения здесь — квазивыпуклые и ранг-один выпуклые функции. Первый тип выпуклости естественным образом возникает в вариационном исчислении, а второй является его практически осязаемым упрощением. Я расскажу о пользе этих двух понятий в классическом вариационном исчислении и анализе квазиконформных отображений, а также об их связи с экстремальными задачами теории вероятностей.
Приглашаются все желающие!
26 февраля 2025 г., 17:30
А.Д. Баранов, «Оценки интегралов от производных -листных функций»
Пусть — многочлен степени не выше и в единичном круге . Какой будет точная по порядку зависимости от оценка для интегрального среднего его производной ? Нетрудно показать, что , где — некоторая абсолютная константа. Значительно сложнее показать, что это неравенство точное.
В докладе мы обсудим решение этой задачи и ряд ее обобщений. Например, вместо полиномов можно рассматривать рациональные функции, -листные функции и даже функции, -листные в среднем, круг можно заменить на более широкий класс достаточно регулярных областей, а равномерную норму на норму в пространстве Харди.
Доклад основан на совместных работах с И. Р. Каюмовым (СПбГУ) и Р. Заруфом (университет Экс-Марсель).
Приглашаются все желающие!
19 февраля 2025 г., 17:30
Ф.В. Петров, «Ветвление в плоской задаче Джилберта — Штейнера имеет степень не выше 3»
Пусть на плоскости дано два конечных набора материальных точек равной суммарной массы. Перевести килограмм на расстояние стоит рублей, где . Минимальная стоимость плана перевозки массы из первого набора во второй реализуется некоторым деревом. Мы доказываем, что степени его вершин не превосходят . Доказательство основано на теории Бохнера и Шёнберга вполне положительных функций. По совместной работе с Д. Черкашиным.
Приглашаются все желающие!
12 февраля 2025 г., 17:30.
Ю.С. Белов, «Теоремы типа Кадеца»
Знаменитая теорема Кадеца об утверждает, что если последовательность чисел не слишком далека от целых чисел , то соответствующая система экспонент порождает безусловный базис в пространстве . В докладе будет представлено оригинальное доказательство Кадеца и рассмотрены аналоги этой теоремы для малого пространства Фока и некоторых других пространств.
Приглашаются все желающие!